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प्रश्न
संलग्न आकृति में `square` ABCD यह समलंब चतुर्भुज है। AB || DC, बिंदु M तथा बिंदु N क्रमशः विकर्ण AC तथा विकर्ण DB के मध्यबिंदु है तो सिद्ध कीजिए कि MN || AB
उत्तर
दत्त: `square` ABCD एक समलंब है।AB || DC
बिंदु M और N क्रमशः विकर्ण AC और DB के मध्यबिंदु हैं।
साध्य: MN || AB
रचना: रेख DM खींचो जो भुजा AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करे।
उपपत्ति:
भुजा DC || भुजा AB ...(दत्त)
तथा रेख AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠DAC ≅ ∠BAC ...(एकांतर कोण)
∴ ∠DCM ≅ ∠TAM ...(i) ...(A-M-C तथा A-T-B)
∆DCM तथा ∆TAM में,
∠DCM ≅ ∠TAM ...[(i) से]
रेख MC ≅ रेख MA ...(बिंदु M रेख AC का मध्यबिंदु है।)
∠DCM ≅ ∠TAM ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∆DCM ≅ ∆TAM ...(सर्वांगसमता की को-भु-को कसौटी)
रेख DM ≅ रेख MT ...(स.त्रि.सं.भु) ...(ii)
∆DTB में,
बिंदु N, रेख DB का मध्यबिंदु है। ...(दत्त)
बिंदु M, रेख DT का मध्यबिंदु है। ...[(ii) से]
∴ रेख MN || भुजा TB ...(मध्यबिंदु प्रमेय)
∴ रेख MN || रेख AB ...(A-T-B)
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