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प्रश्न
बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों `vec"r".(hat"i" - hat"j" + 2hat"k") = 5` और `vec"r". (3hat"i" + hat"j" + hat"k") = 6` के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
माना बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
`vec"r" = hat"i" + 2hat"j" + 3hat"k" + λ("b"_1hat"i" + "b"_2hat"j" + "b"_3hat"k")` .....(i)
∴ यह रेखा समतल `vec"r". (hat"i" - hat"j" + 2hat"k") = 5` के समांतर है।
समतल का अभिलंब और रेखा (i) परस्पर लंबवत् हैं।
∴ b1 – b2 + 2b3 = 0
इस प्रकार रेखा (i) और समतल `vec"r". (3hat"i" + hat"j" + hat"k")= 6` समांतर है।
⇒ रेखा (i) और समतल का अभिलंब परस्पर लंबवत् हैं।
⇒ 3b1 + b2 + b3 = 0 .....(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,
`"b"_1/(-1 - 2) = "b"_2/(6 - 1) = "b"_3/(1 + 3)`
या `"b"_1/-3 = "b"_2/5 = "b"_3/4`
या `"b"_1/3 = "b"_2/-5 = "b"_3/-4`
b1, b2, b3 का मान समीकरण (i) में रखने से अभीष्ट रेखा का समीकरण
`vec"r" = hat"i" + 2hat"j" + 3hat"k" + λ(3hat"i" - 5hat"j" - 4hat"k")`
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