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प्रश्न
एक ऊर्ध्वाधर मीनार एक क्षैतिज समतल पर खड़ी है तथा उस पर h ऊँचाई का एक ऊर्ध्वाधर ध्वज-दंड लगा हुआ है। समतल के किसी बिंदु से ध्वज-दंड के निचले और ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण क्रमश : α और β हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई `((h tan alpha)/(tan beta - tan alpha))` है।
उत्तर
दिया गया है कि ऊँचाई h का एक ऊर्ध्वाधर ध्वजदंड ऊँचाई H (मान लिया गया) के एक ऊर्ध्वाधर मीनार पर इस प्रकार लगाया जाता है कि FP = h और FO = H है।
समतल पर ध्वज दंड के तल और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः ∠PRO = α और ∠FRO = β हैं।
∆PRO में, हमारे पास है,
tan α = `"PO"/"RO" = "H"/x` ...`[∵ tan θ = "लंबवत"/"आधार"]`
⇒ x = `"H"/tan α` ...[समीकरण 1]
और ∆FRO में, हमारे पास है।
tan β = `"FO"/"RO" = ("FP" + "PO")/"RO"`
tan β = `("h" + "H")/x`
⇒ x = `("h" + "H")/tan β` ...[समीकरण 2]
समीकरण 1 और समीकरण 2 की तुलना करने पर,
⇒ `"H"/tan α = ("h" + "H")/tan β`
H के लिए हल करके,
⇒ H tan β = (h + H) tan α
⇒ H tan β – H tan α = h tan α
⇒ H (tan β – tan α) = h tan α
⇒ H = `("h" tan α)/(tan β - tan α)`
अतः सिद्ध हुआ।
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