Question

Find the value of `[(1 + sin  pi/10 + "i" cos  pi/10)/(1 + sin  pi/10 - "i" cos  pi/10)]^10`

Answer 1

`[(1 + sin  pi/10 + "i" cos  pi/10)/(1 + sin  pi/10 - "i" cos  pi/10)]^10`

= `[(1 + cos (pi/2 - pi/10) + "i" sin(pi/2 - pi/10))/(1 + cos (pi/2 - pi/10) - "i" sin (pi/2 - pi/10))]^10`

= `[(1 + cos  (2pi)/5 + "i" sin  (2pi)/5)/(1 + cos  (2pi)/5 - "i" sin  (2i)/5)]^10`

= `[(2cos^2  ((2pi)/5)/2 + "i" 2 sin  ((2pi)/5)/2 * cos  ((2pi)/5)/2)/(2 cos^2  ((2pi)/5)/2 - "i" 2 sin  ((2pi)/5)/2 * cos  ((2pi)/5)/2)]^10`

= `[(cos  pi/5 + "i" sin  pi/5)/(cos  pi/5 - "i" sin  pi/5)]^10`

= `[(cos  pi/5 + "i" sin  pi/5)/(cos  ((- pi)/5)  + "i" sin  ( - pi/5))]^10`

= `[cos (pi/5 + pi/5) + "i" sin (pi/5  pi/5)]^10`

= `[cos (2pi)/5 + "i" sin  (2pi)/5]^10`

= `cos 10 ((2pi)/5) + "i" sin 10 ((2pi)/5)`

= `cos 4pi + "i" sin 4pi`  ....[∵ By de Moivre's theorem]

= 1 + i(0)

= 1

Aliter method:

`[(1 + sin  pi/10 + "i" cos  pi/10)/(1 + sin  pi/10 - "i" cos  pi/0)]^10`

Letz = `sin  pi/10 + "i" cos  pi/10`

`1/z = sin  pi/10 - "i" cos  pi/10`

`[(1 + sin  pi/10 + "i" cos  pi/10)/(1 + sin  pi/10 - "i" cos  pi/0)]^10 = [(1 + z)/(1 + 1/z)]`

= `[((1 + z))/((z + 1)) * z]^10`

= z¹⁰

= `[sin  pi10 + "i"  cos  pi/10]^10`

= `[cos(pi/2 - pi/10) + "i" sin(pi/2 - pi/10)]^10`

= `[cos  (4pi)/10 + "i" sin  (4pi)/10]^10`

= `cos  (4pi)/10 (10) + "i" sin  (4pi)/10 (10)]`

= `cos 4pi + "i" sin 4pi`  ......[∵ By de Moivre's theorem]

= 1 + i(0)

= 1