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प्रश्न
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
उत्तर
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान `underline(2sqrt("ab"))` है।
व्याख्या:
यहाँ, f(x) = `"a"x + "b"/x`
⇒ f'(x) = `"a" - "b"/x^2`
अधिकतम और न्यूनतम मान f'(x) = 0 के लिए
∴ `"a" - "b"/x^2` = 0
⇒ `x^2 = "b"/"a"`
⇒ x = `+- sqrt("b"/"a")`
अब f"(x) = `(2"b")/x^3`
`"f''"(x)_(x = sqrt("b"/"a")) = (2"b")/(("b"/"a")^(3/2))`
= `2 ("a"^(3/2))/("b"^(1/2)) > 0`
इसलिए, निम्निष्ठ
तो x = `sqrt("b"/"a")` पर फलन का अल्पतम मान है।
`"f"(sqrt("b"/"a")) = "a" * sqrt("b"/"a") + "b"/sqrt("b"/"a")`
= `sqrt("ab") + sqrt("ab")`
= `2sqrt("ab")`
इसलिए, न्यूनतम मान `2sqrt("ab")` है।
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