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प्रश्न
f(x) = secx + log cos2x, 0 < x < 2π का उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर
f(x) = secx + 2 log cosx
इसलिए, f'(x) = secx tanx – 2 tanx = tanx (secx –2)
f'(x) = 0
⇒ tanx = 0 या secx = 2 या cosx = `1/2`
अतः x क सम्भव मान x = 0,
या x = π तथा x = `pi/3` या x = `(5pi)/3`
पुनः, f′(x) = sec2x (secx –2) + tanx (secx tanx)
= sec3x + secx tan2x – 2sec2x
= secx (sec2x + tan2x – 2secx).
हम देखते हैं कि
f′(0) = 1(1 + 0 – 2) = –1 < 0. इसलिए, x = 0 एक उच्चिष्ठ बिंदु है।
f′(π) = –1(1 + 0 + 2) = –3 < 0. इसलिए, x = π एक उच्चिष्ठ बिंदु है।
`"f'"(pi/3)` = 2(4 + 3 – 4) = 6 > 0. इसलिए, x = `pi/3` एक निम्नष्ठ बिंदु है।
`"f'"((5pi)/3)` = 2(4 + 3 – 4) = 6 > 0. इसलिए, x = `(5pi)/3` एक निम्नष्ठ बिंदु है।
y का x = 0 पर उच्चतम मान 1 + 0 = 1 है।
y का x = π पर उच्चतम मान –1 + 0 = –1 है।
y का x = `pi/3` पर निम्नतम मान `2 + 2 log 1/2` = 2(1 – log2) है।
y का x = `(5pi)/3` पर निम्नतम मान `2 + 2 log 1/2` = 2(1 – log2) है।
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