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प्रश्न
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
उत्तर
वक्र का समीकरण `sqrt(x) + sqrt(y)` = 4 द्वारा दिया जाता है
माना (x1, y1) वक्र पर वांछित बिंदु है
∴ `sqrt(x)_1 + sqrt(y)_1` = 4
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x1, हमें मिलता है
`"d"/("dx"_1) sqrt(x_1) + "d"/("dx"_1) sqrt(y_1) = "d"/("dx"_1) (4)`
⇒ `1/(2sqrt(x_1)) + 1/(2sqrt(y_1)) * ("d"y_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `1/sqrt(x_1) + 1/sqrt(y_1) * ("dy"_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `("dy"_1)/("d"x_1) = - sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` .....(i)
क्योंकि (x1, y1) पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा समान रूप से झुकी होती है।
∴ स्पर्श रेखा का ढाल `("dy"_1)/("dx"_1) = +- tan pi/4` = ±1
अतः समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है
`- sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` = ±1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(y_1)/(x_1)` = 1
⇒ y1 = x1
दिए गए वक्र के समीकरण में y1 का मान रखने पर।
`sqrt(x_1) + sqrt(y_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1) + sqrt(x_1)` = 4
⇒ `2sqrt(x_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1)` = 2
⇒ x1 = 4
तब से y1 = x1
∴ y1 = 4
अतः अभीष्ट बिंदु (4, 4) है।
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