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प्रश्न
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
हमारे पास f(x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 है,
⇒ f '(x) = 5x4 – 20x3 + 15x2
f '(x) = 0 स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए,
⇒ 5x4 – 20x3 + 15x2 = 0
⇒ 5x2(x2 – 4x + 3) = 0
⇒ 5x2(x2 – 3x – x + 3) = 0
⇒ x2(x – 3)(x – 1) = 0
∴ x = 0, x = 1 और x = 3
अब f '(x) = 20x3 – 60x2 + 30x
⇒ `"f''"(x)_("at" x = 0)` = 20(0)3 – 60(0)2 + 30(0) = 0
जो न तो उच्चिष्ठ और न ही निम्निष्ठ।
∴ f (x) का विभक्ति बिंदु x = 0 पर है।
`"f''"(x)_("at" x = 1)` = 20(1)3 – 60(1)2 + 30(1)
= 20 – 60 + 30
= –10 < 0 उच्चिष्ठ
`"f''"(x)_("at" x = 2)` = 20(3)3 – 60(3)2 + 30(3)
= 540 – 540 + 90
= 90 > 0 निम्निष्ठ
x = 1 पर फलन का अधिकतम मान
f (x) = (1)5 – 5(1)4 + 5(1)3 – 1
= 1 – 5 + 5 – 1
= 0
x = 3 पर न्यूनतम मान है।
f (x) = (3)5 – 5(3)4 + 5(3)3 – 1
= 243 – 405 + 135 – 1
= 378 – 406
= – 28
इसलिए, फलन का अधिकतम मान x = 1 और अधिकतम मान = 0 है और इसका न्यूनतम मान x = 3 है और इसका न्यूनतम मान – 28 है।
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