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प्रश्न
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
यह दिया गया है कि, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्रों का योग x, 2x और `x/3` और एक क्षेत्र स्थिर है।
मान लीजिए S दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
∴ S = 2`(x * 2x + 2x * x/3 +x/3 * x) + 4pi"r"^2` = k
⇒ `4pi"r"^2 = "k" - 6x^2`
⇒ r2 = `("k" - 6x^2)/(4pi)`
⇒ r = `sqrt(("k" - 6x^2)/(4pi)` .....(i)
मान लीजिए V समानांतर चतुर्भुज और गोले दोनों के आयतन के योग को दर्शाता है।
फिर, V = `2x * x * x/3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3 x^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3 x^3 + 4/3pi(("kk" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`
= `2/3 x^3 + 4/3 pi (("k" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`
⇒ V = `2/3 x^3 + 1/(6sqrt(pi)) ("k" - 6x^2)^(3/2)` ....(ii)
विभेदक w.r.t. x,
`"dV"/"dx" = 2/3 * 3x^2 + 1/(6sqrt(pi)) * 3/2 * ("k" - 6x^2)^(1/2)(-12x)`
= `2x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)` ....(iii)
मान लीजिए `"dV"/"dx"` = 0
⇒ `2x^2 = (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)`
⇒ `4x^4 = (9x^2)/pi ("k" - 6x^2)`
⇒ `4pix^4 = 9"k"x^2 - 54x^4`
⇒ `x^2 = (9"k")/(4pi + 54)`
⇒ x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))` .....(iv)
स्पष्ट रूप से यह बिंदु न्यूनतम है।
जब x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))`
`"r"^2 = ("k" - 6) ((9"k")/(4pi + 54))/(4pi)`
= `("k"(4pi + 54) - 54"k")/(4pi(4pi + 54))`
= `(4"k"pi)/(4pi(4pi + 54))`
= `"k"/(4pi + 54)`
⇒ r = `sqrt("k"/(4pi + 54))`
⇒ x = 3r
साथ ही V = `2/3x^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3(3"r")^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `18"r"^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `(18 + 4/3 pi)"r"^3`
= `((54 + 4pi)/3)("k"/(4pi + 54))^(3/2)`
= `"k"^(3/2)/(3(4pi + 54)^(3/2)`
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