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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
उत्तर
P(n) : n(n2 + 5) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 6 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) : 1(12 + 5) = 6, जो 6 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
P(k) : k(k2 + 5)को 3 से विभाज्य होने दें।
अथवा k(k2 + 5) = 6m, m ∈ N .........(i)
साबित करो, P(k + 1) सत्य है।
P(K + 1) : (K + 1)[(K + 1)2 + 5]
= (K + 1)[K2 + 2K + 6]
= K3 + 3K2 + 8K + 6
आगे हल करें,
= (K2 + 5K) + 3K2 + 3K + 6
= K(K2 + 5) + 3(K2 + K + 2)
= (6m) + 3(K2 + K + 2) ..........(using (i))
यह समझें कि, K2 + K + 2 हमेशा सम होता है यदि k विषम या सम है।
3(K2 + K + 2) , जो 6 से विभाज्य है और इसलिए, (6m) + 3(K2 + K + 2) यह 6 से विभाज्य है।
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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