सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a1, a2, a3 ...., a1 = 3 तथा ak = 7ak − 1 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए an = 3.7n−1. - Mathematics (गणित)

प्रश्न

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a₁, a₂, a₃ ...., a₁ = 3 तथा a_k = 7a_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹.

सिद्धांत

उत्तर

पता है कि, a₁ = 3

a₂ प्राप्त करे।

⇒ a₂ = 7a_{2 − 1}

= 7a₁

= 21

⇒ a₃ = 7a₃ − 1

= 7a₂

= 147

समझलो, इसी तरह a₄, a₅, a₆, ... गणना करें।

देखिए P(n) : a_n = 3.7^{n − 1}, ∀ n ∈ N

P(2) के लिए गणना करें।

⇒ a₂ = 3.7^{2 − 1} = 21

इसलिए, 21 = 21

इसलिए, यह P(2)सच है।

P(k) के लिए गणना करें।

⇒ a_k = 3.7^{k − 1}

इसलिए, यह भी सच है।

⇒ a_k = 7a_{k − 1}

k = k + 1 स्थानापन्न करे ।

⇒ a_{k + 1} = 7a_k

= 7(3.7^{k − 1})

= ${3.7}^{(k + 1) - 1}$

इसलिए, P(k + 1) यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹ सही है।

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गणितीय आगमन का सिद्धांत

या प्रश्नात किंवा उत्तरात काही त्रुटी आहे का?

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पाठ 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - प्रश्नावली [पृष्ठ ७१]

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एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 11

पाठ 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत
प्रश्नावली | Q 17. | पृष्ठ ७१

संबंधित प्रश्‍न

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गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

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मान लीजिए कि P(n) : “2ⁿ < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,

किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4ⁿ − 1 संख्या 3 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n² + 5), संख्या 6 से भाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

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सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d₁, d₂, d₃ ..., d₁ = 2 तथा $d_{k} = \frac{d_{k - 1}}{k}$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, $d_{n} = \frac{2}{n!}$ .

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