Advertisements
Advertisements
प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
उत्तर
देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए P(n) : 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)
P(1) : 1 = 1(2 × 1 - 1) = 1, सही है।
इसलिये, P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।
∴ P(K) : 1 + 5 + 9 + ...... + (4k - 3) + [4(k + 1) - 3] .... (1)
साबित करो, P(k + 1) सही है।
P(k + 1) : 1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) + [4(k + 1) - 3]
= 2k2 - k + 4k + 4 - 3
= 2k2 + 3k + 1
= (k + 1) (2k + 1)
= (k + 1) [2(x + 1) - 1]
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + .... + n.3^n = ((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`a + ar + ar^2 + ... + ar^(n -1) = (a(r^n - 1))/(r -1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1+2+ 3+...+n<1/8(2n +1)^2`
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
41n – 14n, संख्या 27 का एक गुणज है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`
आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)
= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए 7n − 2n संख्या 5 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, `sqrtn<1/sqrt1+1/sqrt2+…+1/sqrtn`
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n.
सभी प्राकृत संख्या k के लिए एक अनुक्रम b0, b1, b2 ...., b0 = 5 तथा bk = 4 + bk − 1 द्वारा परिभाषित है। गणितीय आगमन के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए bn = 5 + 4n.
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d1, d2, d3 ..., d1 = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.
यदि सभी n ∈ N के लिए, 10n + 3.4n + 2 + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।
यदि xn − 1.x − k, से भाज्य है, तो k का न्यूनतम पूर्णांक है:
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:
मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
