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प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
उत्तर
P(n) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sinnθ
= `(sin (ntheta)/2 * sin ((n + 1)/2) theta)/(sin theta/2)`, ∀ n ∈ N.
देखिए
⇒ P(1) : sinθ = `(sin theta/2 . sin ((1 + 1)/2)theta)/(sin theta/2)`
= `(sin theta/2 . sin theta)/(sin theta/2)`
= sinθ
इसलिए, P(1) के लिए यह सच है।
⇒ P(k) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sinkθ
= `(sin (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta)/(sin theta/2)`
इसलिये, P(k) के लिये यह सच है।
P(k + 1) : sinθ + sin2θ + sin3θ + ... + sin(k + 1)θ
= `(sin (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta)/(sin theta/2) + sin(k + 1)theta`
= `(sin (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta + sin(k + 1)theta * sin theta/2)/(sin theta/2)`
= `(2sin (ktheta)/2 * sin ((k + 1)/2)theta + sin (k + 1)theta * sin theta/2)/(sin theta/2)`
आगे हल करें।
= `(cos((ktheta)/2 - (k + 1)/2 theta) - cos((ktheta)/2 + (k + 1)/2 theta) + cos[(k + 1)theta - theta/2] - [cos[(k + 1)theta + theta/2]))/(2sin theta/2)`
= `(cos(theta/2) - cos(ktheta + (3theta)/2))/(2sin theta/2)`
= `(-2sin((theta + ktheta + 3theta)/2).sin((theta - ktheta - 3theta)/2))/(2sin theta/2)`
= `(sin((ktheta + 2theta)/2).sin((ktheta + 2theta)/2))/(sin theta/2)`
आगे हल करें।
इसलिये, P(k + 1) के लिये यह सच है।
इसलिये, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = (sin (ntheta)/2 .sin((n + 1)/2)theta)/(sin theta/2)` सही है।
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