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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n3 − n, संख्या 6 से भाज्य है।
उत्तर
मान लो की, P(n) : n3 − n प्राकृतिक संख्या n > 2 के लिए 6 से विभाज्य होने दें।,
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
P(k) : K3 – k को 6 से विभाज्य होने दें।
अथवा k3 − k = 6m, m ∈ N ........(i)
साबित करो, P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : (k + 1)3 − (k + 1)
= k3 + 1 + 3k(k + 1) − (k + 1)
= k3 + 1 + 3k2 + 3k − k − 1
= (k3 − k) + 3k(k + 1)
= 6m + 3k(k + 1) ........(using (i))
जो 6 से विभाज्य है। (∴ k(k + 1) सम है)
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n ≥ 2 के लिए P(n) सही है।
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