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प्रश्न
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
किसी प्राकृत संख्या n के लिए, xn − yn, x − y से भाज्य है, जहाँ x तथा y पूर्णांक है और x ≠ y.
उत्तर
देखिए, P(n) : xn − yn को x - y से विभाज्य होने दें। जहाँ x और y किसी भी पूर्णांक x ≠ y के साथ हैं।
अब, P(1) : x1 − y1 = x − y जो x − y से विभाज्य है इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
P(k) : xk − yk को (x − y) से विभाज्य होने दें।
अथवा xk − yk = m(x − y), m ∈ N ...(i)
साबित करो, P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : xk + 1 − yk + 1
= xk − x − xk − y + xk − y − yky
= xk(x − y) + y(xk − yk)
= xk(x − y) + ym(x − y) (using (i))
= (x − y)[xk + ym], और x − y से विभाज्य है।
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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