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प्रश्न
रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर
दिए गए रैखिक समीकरण के युग्म हैं।
x + y – 2 = 0 ......(i)
और 2x – y – 1 = 0 ......(ii)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।
a1 = 1, b1 = 1 और c1 = –2 ......[(i) से]
a2 = 2, b2 = –1 और c2 = –1 .....[(ii) से]
यहाँ, `a_1/a_2 = 1/2`,
`b_1/b_2 = 1/(-1)`
और `c_1/c_2 = (-2)/(-1) = 2/1`
⇒ `a_1/a_2 ≠ b_1/b_2`
तो, दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अतः, ये समीकरण संगत हैं।
अब, x + y = 2
⇒ y = 2 – x
| x | 0 | 2 | 1 |
| y | 2 | 0 | 1 |
और 2x – y – 1 = 0
⇒ y = 2x – 1
| x | 0 | `1/2` | 1 |
| y | –1 | 0 | 1 |
दी गई रेखाएँ E(1, 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, अनंत रेखाएँ रैखिक समीकरण x + y = 2 और 2x – y = 1 के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजर सकती हैं।
अर्थात्, E(1, 1) जैसे y = x, 2x + y = 3, x + 2y = 3 इत्यादि।
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