Question

सिद्ध कीजिए कि (1+x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।

Answer 1

`(1 + x)^(2x)   "के प्रसार में व्यापक पद"  ^(2n)C_r x^r`

यदि xⁿ = x^r अर्थात r = n

`x^n   "का गुणांक"  =  ^(2n)C_n`

`(1 + x)^ (2n -1)   "के प्रसार में व्यापक पद"  =  ^(2n - 1)C_(r  x^r)`

यदि xⁿ = x^r अर्थात r = n

∴  `x^n   "का गुणांक"  =  ^(2n - 1)C_n`

समीकरण (i) व (ii) के गुणांक का अनुपात

`(""^(2n)C_n)/(""^(2n-1)C_n)  = ((2n)!)/(((n!n!)/((2n-1)!))/(n!(n - 1)!`

`=  ((2n)!)/(n!n!)  xx  (n!(n - 1)!)/((2n - 1)!)`

= `((2n)(2n - 1)!)/(n[(n - 1)!] n!) xx(n!(n - 1)!)/((2n - 1)!)  =  2.`