Question

यदि `(root4 2 + 1/ root4 3)^n " प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात " sqrt6 : 1   "हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।"`

Answer 1

`(root4 2 + 1/ root4 3)^n`  के प्रसार में आरंभ से 5 वां पद

= `""^nC_n   (root4 2)^(n-4)  (1/root4 3)^4`

= `""^nC_4  2 (n -4)/4   3  4/4  =  ^nC_4  2 (n -4)/4  1/3`  .......(i)

दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद

= `""^nC_(n-4)   (root4 2)^ (n - (n -4))    (1/root4 3)^(n -4)`

= `""^nC_4  2  4/4(1/3)^(n -4/4)`

`[∴  ^nC_2 = ^nC_n - 2]`

= `""^nC_4  2 1/((n -4)/ 4`  ....(ii)

समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर

`"प्रारंभ से 5 वाँ पद"/"अंत से 5 वाँ पद"  = (""^nC_4  2  (n -4)/4 1/3)/(""^nC_4  2  1/((n -4)/4))  = sqrt6/1`

या  `(2  n/4 -2)/(1/3)^(n/4 - 2)  = sqrt6/1`

या  `(2.3)^(n/4 - 2)  = sqrt6/1`

या ` 6n/4 -2  =  6 1/2`

अर्थात `n/4 - 2  = 1/2`

या  `n/4  = 2  +  1/2  =  5/2`

n = 10