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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंर्तगत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
उत्तर
मान लीजिए ABCD एक आयत है जो r त्रिज्या वाले दिए गए वृत्त के अंतर्गत अंकित है तथा जिसका केंद्र O है।
मान लीजिए आयत की एक भुजा C है तो दूसरी भुजा
`= sqrt((2r)^2 - x^2)`
`= sqrt(4r^2 - x^2)`
(∴ ∠ADC = ∠ABC = 90°; अर्धवृत्त में एक कोण)
मान लीजिए A आयत का संगत क्षेत्रफल है।
`A = xsqrt(4r^2 - x^2), 0 < x < 2r`
⇒ `(dA)/dx = (x(-2x))/(2 sqrt(4r^2 - x^2)) + sqrt(4r^2 - x^2)`
`= (2(2r^2 - x^2))/sqrt(4r^2 - x^2)`
अधिकतम / न्यूनतम क्षेत्र के लिए,
`(dA)/dx = (2r^2 - x^2)/(sqrt(4r^2 - x^2)) = 0`
⇒ `x = sqrt2r` ...(∵ 0 < x < 2r)
अब,
`(d^2A)/dx^2 = (sqrt(4r^2 - x^2) (-4x) - (4r^2 - 2x^2) (1xx(-2x))/(2sqrt(4r^2 - x^2)))/((4r^2 - x^2))`
`= ((4r^2 - x^2) (-4x) + (4r^2 - 2x^2) x)/((4r^2 - x^2)^(3//2))`
`= (-12r^2x + 2x^3)/(4r^2 - x^2)^(3//2)`
`((d^2A)/dx^2)_(x = sqrt(2r))`
`= (-12r^2 (sqrt (2r)) + 2 (sqrt (2r))^3)/((2r^2)^(3//2)`
`= (4sqrt(2r^3) - 12 sqrt (2r^3))/(2 sqrt(2r^3))`
= 2 - 6 < 0
∴ क्षेत्रफल अधिकतम है x = `sqrt(2r)`
∴ आयत की लंबाई `sqrt(2r)` है।
आयत की चौड़ाई `sqrt (4r^2 - x^2) = sqrt (2r)` है।
अतः आयत अधिकतम क्षेत्रफल के लिए `sqrt (2r)` भुजा वाला एक वर्ग है।
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