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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के x-अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं-
`theta ("t") = "tan"^-1(("ν"_(0"y") - "gt")/"ν"_"ox")`
उत्तर
माना कोई प्रक्षेप्य मूलबिन्दु से इस प्रकार फेंका जाता है कि उसके वेग के x-अक्ष तथा y-अक्षों की दिशाओं में वियोजित घटक क्रमश: Vox तथा v0y हैं।
माना t समय पश्चात् प्रक्षेप्य बिन्दु P पर पहुँचता है, जहाँ उसको स्थिति सदिश `vec"r"("t")` है।
तब `vec"r"("t") = vec"ν"_0 "t" + 1/2 vec"a" "t"^2`
= `("ν"_"ox" hat"i" + "ν"_(0"y") hat "j") "t" + 1/2 (0 hat "i" - "g" hat"j")"t"^2` [∵ ax = 0 तथा ay = -g]
वेग `vec"v" = ("d"vec"r")/"dt" = ("ν"_("ox") hat"i" + "ν"_(0"y") hat"j") + 1/2 (-"g "hat"j") xx 2"t"`
= `"ν"_("ox") hat"i" + ("ν"_(0"y") - "gt") hat"j"`
∴ t समय पर प्रक्षेप्य के अक्षों की दिशाओं में वेग क्रमशः νtx = νox तथा νty = ν0y - gt है।
∴ t समय पर वेग की दिशा द्वारा x -अक्ष से बनाया गया कोण
`theta ("t") = "tan"^-1("ν"_"y"/"ν"_"x") = "tan"^-1(("ν"_(0"y") - "gt")/"ν"_"ox")`
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