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प्रश्न
सिद्ध कीजिए।
secθ + tanθ = `cosθ/(1 - sinθ)`
उत्तर
बायाँ पक्ष = secθ + tanθ
= `1/costheta + sintheta/costheta` ..............`(∵ sectheta = 1/costheta, tantheta = sintheta/costheta)`
= `(1 + sintheta)/costheta`
= `((1 + sintheta))/costheta xx ((1 - sintheta))/((1 - sintheta))` ..............[अंश तथा हर दोनों में (1 - sinθ) से गुणा करने पर]
= `(1 - sin^2theta)/(costheta.(1 - sintheta))` ............`[(∵ sin^2theta + cos^2theta = 1),(∴ 1 - sin^2theta = cos^2theta)]`
= `(cos^2theta)/(costheta(1 - sintheta))`
= `costheta/(1 - sintheta)`
= दायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ secθ + tanθ = `cosθ/(1 - sinθ)`
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यदि sinθ = `7/25`, तो cosθ तथा tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि sinθ = `11/61`, तो सर्वसमिका का उपयोग करके cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
cot θ + tan θ = cosec θ × sec θ सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
