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प्रश्न
सिद्ध कीजिए।
`tanA/(1 + tan^2A)^2 + cotA/(1 + cot^2A)^2 = sinA cosA`
उत्तर
बायाँ पक्ष = `tanA/(1 + tan^2A)^2 + cotA/(1 + cot^2A)^2`
= `tanA/(sec^2A)^2 + cotA/(cosec^2A)^2` ..........`[(∵ 1 + tan^2A = sec^2A),(∵ 1 + cot^2A = cosec^2A)]`
= `tanA/sec^4A + cotA/(cosec^4A)`
= `tanA xx cos^4A + cotA xx sin^4A` ....`(∵ 1/secA = cosA, 1/(cosecA) = sinA)`
= `sinA/cosA xx cos^4A + cosA/sinA xx sin^4A` ......`(∵ tanA = sinA/cosA, cotA = cosA/sinA)`
= `sinA*cos^3A + cosA*sin^3A`
= `sinA*cosA(cos^2A + sin^2A)`
= sinA*cosA (1) .............(∵ sin2A + cos2A = 1)
= sinA * cosA = दायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ `tanA/(1 + tan^2A)^2 + cotA/(1 + cot^2A)^2 = sinA * cosA`.
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यदि sinθ = `11/61`, तो सर्वसमिका का उपयोग करके cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
cot θ + tan θ = cosec θ × sec θ सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
यदि sin θ = `11/61` हो, तो त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके cos θ का मान ज्ञात करो।
sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
