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प्रश्न
यदि एक वर बिंदु P(x, y) की रेखाओं x + y – 5 = 0 और 3x – 2y + 7 = 0 से लांबिक दूरियों का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
उत्तर
दी गई रेखाओं के समीकरण हैं
x + y – 5 = 0 … (1)
3x – 2y + 7 = 0 … (2)
रेखा (1) और (2) से P (x, y) की लांबिक दूरी क्रमशः दी गई है
`d_1 = |x + y - 5|/(sqrt((1)^2 + (1)^2)` और `d_2 = |3x - 2y + 7|/(sqrt((3)^2 + (2)^2)`
यानी, `d_1 = (x + y - 5)/sqrt2` और `d_2 = |3x -2y + 7|/sqrt(13)`
यह दिया गया है कि d1 + d2 = 10
`= (x + y - 5)/sqrt2 + |3x -2y + 7|/sqrt(13) = 10`
= `sqrt13 |x + y - 5| + sqrt2 |3x -2y + 7|-10sqrt26 = 0`
= `sqrt13 |x + y - 5| + sqrt2 |3x -2y + 7|-10sqrt26 = 0`
[यह मानते हुए कि (x + y - 5) और (3x - 2y + 7) धन हैं]
= `sqrt13x + sqrt13y - 5sqrt13 + 3sqrt2x - 2sqrt2y + 7sqrt2 - 10sqrt26 = 0`
= `x(sqrt13x + 3sqrt2) + y (sqrt13 - 2sqrt2) + (7sqrt2 - 5sqrt13 - 10sqrt26) = 0` जो एक रेखा का समीकरण है।
इसी प्रकार, हम (x + y -5) और (3x - 2y + 7) के किसी भी चिह्न के लिए रेखा का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
इस प्रकार बिंदु P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
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