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Question
100 सेमी3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या r और ऊँचाई h है।
आयतन = πr2h = 100 सेमी3
`therefore h = 100/(pi r^2)` ...(1)
डिब्बों का कुल वृतीय क्षेत्रफल, S `= 2pi rh + 2 pi r^2`
`= 2pi r xx 100/(pi r^2)+ 2 pi r^2 ...[because "h" = 100/pi r^2]`रखने पर
दोनों पक्षों का r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`therefore (dS)/(dr) = - 200/r^2 + 4pi r`
`= (- 200 + 4 pi r^3)/r^2`
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, `(dS)/(dr) = 0`
`= (- 200 + 4 pi r^3)/r^2 = 0`
`=> 4pi r^3 - 200 = 0`
`=> pi r^3 = 50`
`therefore r = (50/pi)^(1/3)`
समीकरण (2) का पुन: r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(d^2S)/(dr^2) = 400/r^3 + 4pi = + ve` ...[∵ r > 0]
अत: S निम्नतम है
अब, r `(50/pi)^(1/3)` समीकरण (1) में रखने पर,
`h = 100/(pi(50/pi)^(2//3)) `
`h = 100/((50)^(2//3) pi^(1//3))`
`= (50xx2)/ ((50)^(2//3) pi ^(1//3))`
`= 2 (50/pi)^(1//3)` cm.
जब r `(50/pi)^(1/3)` तथा h = 2 `(50/pi)^(1/3)` है तो S न्यूनतम होगा।
अत: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।
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