Question

a तथा b प्राकृत संख्याएँ हैं। (a > b). यदि (a² + b²), (a² – b²) तथा 2ab त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो सिद्ध करो कि यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है। a तथा b के योग्य मान लेकर, पायथागोरस त्रिक की दो जोड़ियाँ ज्ञात करो।

Answer 1

a तथा b प्राकृत संख्याएँ हैं। (a > b)

∴ सबसे बड़ी भुजा = a² + b²

(a² + b²)² = a⁴ + 2a²b² + b⁴  ...(1)

(a² – b²) = a⁴ – 2a²b² + b⁴  ...(2)

(2ab)² = 4a²b²  ...(3)

(2) तथा (3) को जोड़ने पर,

(a² – b²)² + (2ab)² = a⁴ – 2a²b² + b⁴ + 4a²b²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴

∴ (a² – b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²  ...[(1) से]

∴ पायथागोरस प्रमेय के विलोम से,

(a² + b²), (a² – b²) तथा 2ab यह समकोण त्रिभुज की भुजाएँ है।

∴ यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

यदि a = 2 तथा b = 1 तो,

a² + b² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

a² – b² = 2² – 1² = 4 – 1 = 3

2ab = 2 × 2 × 1 = 4

∴ (3, 4, 5) यह पायथागोरस त्रिक है।

यदि a = 3 तथा b = 2 तो,

a² + b² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13

a² – b² = 3² – 2² = 9 – 4 = 5

2ab = 2 × 3 × 2 = 12

∴ (5, 12, 13) यह पायथागोरस त्रिक है।