Advertisements
Advertisements
Question
आकृती मध्ये ΔPQR हा समभुज त्रिकोण असून बिंदू S हा रेख QR वर अशा प्रकारे आहे की, QS = `1/3` QR तर सिद्ध करा; 9PS2 = 7PQ2
Solution
पक्ष : ΔPQR हा समभुज त्रिकोण आहे.
QS = `1/3` QR
साध्य : 9PS2 = 7PQ2
सिद्धता :
ΔPQR हा समभुज त्रिकोण आहे. ....[पक्ष]
∴ ∠P = ∠Q = ∠R = 60° ....(i) [समभुज त्रिकोणाचे कोन]
PQ = QR = PR .....(ii) [समभुज त्रिकोणाच्या बाजू]
ΔPTS मध्ये, ∠PTS = 90°....[पक्ष]
PS2 = PT2 + ST2 ....(iii) [पायथागोरसचे प्रमेय]
ΔPTQ मध्ये,
∠PTQ = 90° ....[पक्ष]
∠PQT = 60° ...[(i) वरून]
∴ ∠QPT = 30° .....[त्रिकोणाचा उर्वरित कोन]
∴ ΔPTQ हा 30° - 60° - 90° त्रिकोण आहे.
∴ PT = `sqrt(3)/2` PQ ....(iv) [60° कोनासमोरील बाजू]
QT = `1/2` PQ .....(v) [30° कोनासमोरील बाजू]
QS + ST = QT ......[Q – S – T]
∴ `1/3"QR" + "ST" = 1/2"PQ"` .....[पक्ष व (v) वरून]
∴ `1/3"PQ" + "ST" = 1/2"PQ"` ....[(ii) वरून]
∴ ST = `"PQ"/2 - "PQ"/3`
∴ ST = `(3"PQ" - 2"PQ")/6`
∴ ST = `"PQ"/6` ......(vi)
PS2 = `(sqrt(3)/2"PQ")^2 + ("PQ"/6)^2` ....[(iii), (iv) व (vi) वरून]
∴ `"PS"^2 = (3"PQ"^2)/4 + "PQ"^2/36`
∴ `"PS"^2 = (27"PQ"^2)/36 + "PQ"^2/36`
∴ `"PS"^2 = (28"PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = 7/9"PQ"^2`
∴ 9PS2 = 7PQ2
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
ΔABC मध्ये, AB = `6sqrt3` सेमी, AC = 12 सेमी आणि BC = 6 सेमी तर ∠A चे माप किती?
एका समभुज त्रिकोणाची बाजू 2a आहे, तर त्याची उंची काढा.
ΔRST मध्ये, ∠S = 90°, ∠T = 30°, RT = 12 सेमी तर RS व ST काढा.
ΔABC हा समभुज त्रिकोण आहे. पाया BC वर P बिंदू असा आहे की PC = `1/ 3` BC, जर AB = 6 सेमी तर AP काढा.
पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.
∆ABC मध्ये, AB = `6sqrt3` सेमी, AC = 12 सेमी आणि BC = 6 सेमी, तर ∠A चे माप किती?
सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AB = BC, AC = `2sqrt2`, ∠ABC = 90°. तर AB ची लांबी किती?
4 सेमी बाजू असलेल्या समभुज त्रिकोणाची उंची किती?
बाजूच्या आकृतीवरून जर AQ = 8 सेमी, तर AB ची लांबी काढा.
सोबतच्या आकृतीवरून, जर AC = 12 सेमी, तर AB ची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती: सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, ∠ABC = 90°, ∠ACB = 30° यावरून,
∠BAC = `square`
म्हणजेच, ∆ABC हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.
∆ABC मध्ये 30° – 60° – 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार,
AB = `1/2"AC"` व `square` = `sqrt3/2"AC"`.
∴ `square` = `1/2 xx 12` व BC = `sqrt3/2 xx 12`
∴ `square` = 6 व BC = `6sqrt3.`
∆RST मध्ये, ∠S = 90°, ∠T = 30°, RT = 12 सेमी, तर RS काढा.
