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Question
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है
Options
एक समचतुर्भुज
एक आयत
एक वर्ग
कोई भी समांतर चतुर्भुज
Solution
एक आयत
स्पष्टीकरण -
मध्य-बिंदु प्रमेय कहता है कि एक त्रिभुज की दो भुजाओं को उन भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से मिलाने वाला खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
AC, RP और SQ को मिलाइए।
∆ABC में,
P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्य-बिंदु है।
∴ मध्य-बिंदु प्रमेय से,
PQ || AC और PQ = `1/2`AC ...(1)
इसी प्रकार,
∆DAC में,
S, AD का मध्य बिंदु है और R, CD का मध्य-बिंदु है।
∴ मध्य-बिंदु प्रमेय से,
SR || AC और SR = `1/2`AC ...(2)
(1) और (2) से,
PQ || SR और PQ = SR
⇒ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
ABQS एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AB = SQ
PBCR एक समानांतर चतुर्भुज है।
⇒ BC = PR
⇒ AB = PR ...[∵ BC = AB, समचतुर्भुज की भुजाएँ]
⇒ SQ = PR
∴ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।
अतः, यह एक आयत है।
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