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Question
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि:
- OB = OC
- AO कोण A को समद्विभाजित करता है।
Solution
(i) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC
∠C = ∠B ...[त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।]
⇒ ∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC
⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC
∵ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠OBA = ∠OBC
और OC, ∠C को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠OCA = ∠OCB
⇒ 2∠OCB = 2∠OBC
⇒ ∠OCB = ∠OBC
अब, △OBC में,
∠OCB = ∠OBC ...[ऊपर सिद्ध किया है]
∴ OB = OC ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
(ii) अब △AOB और △AOC में,
AB = AC ...[दिया है]
∠OBA = ∠OCA
∠B = ∠C
BO, ∠B और CO, ∠C को समद्विभाजित करता है।
∠OBA = ∠OCA
OB = OC
∴ △AOB ≌ △AOC ...[SAS सर्वांगसमता नियम से]
⇒ ∠OAB = ∠OAC ...[सर्वांमसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
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