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Question
f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c, द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। f -1 ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि (f -1)-1= f है।
Solution
f : {1, 2, 3} → {a, b, c}
f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c
g : {a, b, c} → {1, 2, 3}
g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3
अब,
(fog)(a) = f(g(a)) = f(1) = a
(fog)(b) = f(g(b)) = f(1) = b
(fog)(c) = f(g(c)) = f(1) = c
और
(gof)(1) = g(f(1)) = g(a) = 1
(gof)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2
(gof)(3) = g (f(3)) = g(c) = 3
gof = Ix और fog = Iy जहां X = {1, 2, 3} और Y = {a, b, c}
∴ f-1 = g
f-1 : {a, b, c} → {1, 2, 3}
f-1(a) = 1, f-1(b) = 2, f-1(c) = 3
h : {1, 2, 3} → {a, b, c}
h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c
अब
(goh)(1) = g(h(1)) = g(a) = 1
(goh)(2) = g(h(2)) = g(b) = 2
(goh)(3) = g(h(3)) = g(c) = 3
और
(hog)(a) = h(g(a)) = h(1) = a
(hog)(b) = h(g(b)) = h(2) = b
(hog)(c) = h(g(c)) = h(3) = c
goh = Ix और hog = It जहां X = {1, 2, 3} और Y = {a, b, c}
g-1 = h
⇒ (f-1)-1 = h
⇒ h = f
= (f-1)-1 = f
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gof तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि
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कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलन प्रतिलोम हैं?
g : {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} जहाँ
g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
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