Question

If OACB is a parallelogram with \[\overrightarrow{OC} = \vec{a}\text{ and }\overrightarrow{AB} = \vec{b} ,\] then \[\overrightarrow{OA} =\]

Options

• \[\left( \vec{a} + \vec{b} \right)\]

   

• \[\left( \vec{a} - \vec{b} \right)\]

   

• \[\frac{1}{2}\left( \vec{b} - \vec{a} \right)\]

   

• \[\frac{1}{2}\left( \vec{a} - \vec{b} \right)\]

   

Answer 1

\[\frac{1}{2}\left( \vec{a} - \vec{b} \right)\]
Given a parallelogram OACB  such that \[\overrightarrow{OC} = \vec{a} , \overrightarrow{AB} = \vec{b}\].
Then,
\[\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = \vec{OC} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{BC}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}\]                           [∵ \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}\]]
\[\Rightarrow \overrightarrow{OB} = \vec{a} - \overrightarrow{OA} . . . \left( 1 \right)\]
Therefore,
\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{OA} + \vec{b} = \vec{a} - \overrightarrow{OA} \left[ \text { Using } \left( 1 \right) \right]\]
\[ \Rightarrow 2 \overrightarrow{OA} = \vec{a} - \vec{b} \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} - \vec{b} \right)\]