Advertisements
Advertisements
Question
ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `("q" + "r" - 2"p") xx (("p" + "r"))/(2("q"-"p"))` एवढी आहे हे दाखवा.
Solution
पहिले पद (t1) = a = p, दुसरे पद (t2) = q, शेवटचे पद tn = r
(d) = t2 – t1 = q – p
tn = a + (n – 1) × d
r = p + (n – 1) × (q – p)
(r – p) = (n – 1) × (q – p)
n – 1 = `("r" - "p")/("q" - "p")`
n = `("r" - "p")/("q" - "p") + 1`
n = `("r" - "p" + "q" - "p")/("q"- "p")`
n = `("r" + "q" - 2"p")/("q" - "p")`
Sn = `"n"/2[2"a" + ("n" - 1)"d"]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [2"p" + (("r" + "q" - 2"p")/("q" - "p") - 1) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [2"p" + (("r" + "q" - 2"p" - ("q" - "p"))/("q" -"p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p")) [(("r" + "q" - 2"p" - "q" + "p")/("q" - "p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))[2"p" + (("r" - "p")/("q" - "p")) ("q" - "p")]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))[2"p" + "r" - "p"]`
= `("r" + "q" - 2"p")/(2("q" - "p"))["r" + "p"]`
Sn = `("q" +"r" - 2"p") xx (("p" + "r"))/(2("q" - "p"))`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
एका अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद 6 व सामान्य फरक 3 आहे तर S27 काढा.
a = 6, d = 3, S27 = ?
`"S"_"n" = "n"/2 [square + ("n" - 1)"d"]`
`"S"_27 = 27/2 [12 + (27 - 1)square]`
`= 27/2 xx square`
= 27 × 45 = `square`
1 व 350 यांमधील सर्व सम संख्यांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद 52 आणि 38 वे पद 128 आहे, तर तिच्या पहिल्या 56 पदांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीतील चार क्रमागत पदांची बेरीज 12 आहे. तसेच, त्या चार क्रमागत पदांपैकी तिसऱ्या व चौथ्या पदांची बेरीज 14 आहे, तर ती चार पदे काढा.
(चार क्रमागत पदे a - d, a, a + d, a + 2d माना.)
जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).
पहिल्या 1000 धन पूर्णांकांची बेरीज करा.
कृती: समजा, 1 + 2 + 3 + .........+ 1000
अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांच्या बेरजेचे सूत्र Sn = `square` वापरून,
S1000 = `square/2` (1 + 1000)
= 500 × 1001
= `square`
प्रथम 1000 धन पूर्णांकांची बेरीज `square` एवढी आहे.
1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
कृती: 1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्या 4, 8, 12, 16......... 136 या आहेत.
येथे, d = 4 आहे. म्हणून, दिलेली क्रमिका ही अंकगणिती श्रेढी आहे.
a = 4, d = 4, tn = 136, Sn = ?
tn = a + (n – 1) d
`square` = 4 + (n – 1) × 4
`square` = (n –1) × 4
n = `square`
आता, Sn = `"n"/2` + [a + tn]
Sn = 17 × `square`
Sn = `square`
म्हणून, 1 ते 140 यांदरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज `square` आहे.
1 ते 50 मधील सर्व विषम संख्यांची बेरीज करा.
1 + 3 + 5 + ......... + 101 या 1 ते 101 पर्यंत विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
पहिल्या 'n' सम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
