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Question
क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिन्दु पर सतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
Solution 1
फलन f(x) = |x| + |x – 1| को देखें |x|, |x – 1| दोनो फलन सब बिन्दुओं पर संतत है।
अत एव, f(x) = |x| + |x – 1| भी संतत है, x ∈ R के लिए
लेकिन |x|, x = 0 पर अवकलनीय नहीं होता।
इसी प्रकार, |x – 1|, x = 1 पर अवकलनीय नहीं होता।
स्पष्ट है कि । सभी बिन्दुओं पर (x ∈ R) पर संतत है और x = 0, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
Solution 2
f (x) = |x - 1| + |x - 2|
हम f(x) को इस प्रकार पुनः परिभाषित करते हैं:
यह सभी x ∈ R पर सतत है लेकिन x = 1, 2 पर अवकलनीय नहीं है
`f (x) = {(-(x - 1) - (x - 2);, if x<1),((x - 1) - (x - 2);, if 1<= x <=2), ((x - 1) + (x - 2);, if x>2):}`
अर्थात, `f (x) = {(-2x + 3;, if x<1),(1;, if 1<= x <=2), ((2x - 3);, if x>2):}`
f(x) संभवतः 1, 2 को छोड़कर सभी x पर स्पष्ट रूप से सतंत है।
पर, x = 1
`lim_(x->1^-) f (x) = lim_(h->0) (-2(1 - h) + 3)`
= -2 + 3
= 1
`lim_(x->1^+)f (x) = lim_(x->^+) (1) = 1`
f (1) = 1
इस प्रकार, `lim_(x->1^-) f (x) = lim_(x->1^+) f (x) = f (1)`
अतः, f(x) x = 1 पर सतंत है,
पर x = 2
`lim_(x->2^-) f (x) = lim_(x->2^-) 1 = 1`
`lim_(x->2^+) f (x) = lim_(x->2^+) (2x - 3) = lim_(h->0) (2(2 + h) -3)`
= `2 (2) - 3`
= 1
f (2) = 1.
इस प्रकार, `lim_(x->2^-) f(x) = lim_(x->2^+) f(x) = f(2)`
अतः f(x) x = 2 पर सतंत है,
अतः, 'f' सभी x ∈ R पर सतंत है।
अब, `f' (x) = {(-2;, if x<1),(0;, if 1< x <2), (2;, if x>2):}`
x = 1 पर व्युत्पत्ति
`Lf' (1) = lim_(h->0) (f (1-h) - f (1))/(-h)`
`= lim_(h->0) (-2 (1 - h) + 3 - 1)/-h = lim_(h->0) (2h)/-h`
`lim_(h->0) (-2) = -2`
`Lf' (2) = lim_(h->0) (f(2 - h) - f (2))/h = lim_(h->0) (1 - 1)/h = 0`
इस प्रकार, Lf' (1) ≠ Rf' (1)
= 'f' व्युत्पन्न नहीं है.
x = 2 पर व्युत्पत्ति
`Lf' (2) = lim_(h->0) (f (2 - h) - f(2))/h = lim_(h->0) (1 - 1)/h = 0`
`Rf' (2) = lim_(h->0) (f (2 + h) - f (2))/h`
`= lim_(h->0) (2 (2 + h) - 3 - 1)/h = lim_(h->0^+) (2h)/h = lim_(h->0^+) 2 = 2`
= Lf' (2) ≠ Rf' (2)
= f, x = 2 पर व्युत्पन्न नहीं है
अतः f(x) = |x - 1| + |x - 2| सर्वत्र सतंत है तथा 1, 2 को छोड़कर सभी x ∈ R पर अवकलनीय है।
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