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Question
मान लीजिए कि N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है? क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?
Solution
यहाँ N, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है
द्विआधारी संक्रिया a * b = a, b का H.C.F. द्वारा परिभाषित
- a, b का H.C.F. = b, a के H.C.F.
a * b = b * a
अतः * संक्रिया क्रमविनिमेय है। - a * (b * c) = a * (b, c का H.C.F.)
= a व b, c का H.C.F.
= a, b, c का H.C.F.
(a * b) * c = (a, b का H.C.F.) * c
= a, b व c का H.C.F.
= a, b, c का H.C.F.
a * (b * c) = (a * b) * c ...(∵ संक्रिया साहचर्य है) - 1 * a = a * 1 = 1 ≠ a
अतः तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है।
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(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
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5 * 7, 20 * 16
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समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
