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Question
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a - b
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
Solution
Q पर, ऑपरेशन * के रूप में परिभाषित किया गया है a * b = a - b.
यह देखा जा सकता है कि:
`1/2 . 1/3 = 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 = 1/6` तथा `1/3 . 1/2 = 1/3 - 1/2 = (2 - 3)/6 = (-1)/6`
∴ `1/2 . 1/3 ne 1/3 . 1/2` कहाँ पे `1/2, 1/3` ∈ Q
इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है।
यह भी देखा जा सकता है कि:
`(1/2 . 1/3). 1/4 = (1/2 - 1/3) . 1/4 = 1/6 . 1/4 = 1/6 - 1/4 = (2 - 3)/12 = (-1)/12`
`1/2 . (1/3 . 1/4) = 1/2 . (1/3 - 1/4) = 1/2 . 1/12 = 1/2 - 1/12 = (6 - 1)/12 = 5/12`
∴ `(1/2 . 1/3) . 1/4 ne 1/2 . (1/3 . 1/4)` जहां `1/2, 1/3, 1/4` ∈ Q
इस प्रकर, ऑपरेशन * सहयोगी नही है.
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समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए तथा
(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
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मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
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मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
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क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
