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Question
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = (a - b)2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
Solution
Q पर, ऑपरेशन * द्वारा परिभाषित किया गया है a * b = (a - b)2
a, b ∈ Q हमारे पास है:
a * b = (a - b)2
b * a = (b - a)2 = [- (a - b)]2 = (a - b)2
∴ a * b = b * a
इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय है।
यह देखा जा सकता है कि:
(1 . 2) . 3 = (1 - 2)2 . 3 = (-1)2 . 3 = 1 . 3 = (1 - 3)2 = (-2)2 = 4
1. (2 . 3) = 1 . (2 - 3)2 = 1 . (-1)2 = 1. 1 = (1 - 1)2 = 0
∴ (1 . 2) . 3 ≠ 1 . (2 . 3) जहां 1,2,3 ∈ Q
इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।
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Q में, a * b = `(ab)/2` द्वारा परिभाषित
निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।
Z+ में, a* b = ab द्वारा परिभाषित
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समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए तथा
(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
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क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
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`a * b = a^b/4`
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
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a * b = ab2
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a * b = a3 + b3 प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए। अब निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए।
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निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए
a * b = `{(a+b"," "यदि" a+b < 6), (a + b - 6"," "यदि" a + b ≥ 6):}`
सिद्ध कीजिए कि शुन्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 - a, a का प्रतिलोम है |
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
