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Question
मान लीजिए कि A = N × N है तथा A में (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए।
Solution
A = N × N
* पर एक बाइनरी ऑपरेशन है और इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:
(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
चलो (a, b), (c, d) ∈ A
फिर (a, b), (c, d) ∈ N
हमारे पास है,
(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
(c, d) * (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)
∴ (a, b) * (c, d) = (c, d) * (a, b)
इसिलए, ऑपरेशन * सहचर्य है।
एक तत्व e = (e1, e2) ऑपरेशन के लिए एक पहचान तत्व होगा * यदि
a * e = a = e * a∀a = (a1, a2) ∈ A,
(a1 + e1 , a2 + e2) = (a1 , a2) = (e1 + a1, e2 + a2), जो A में किसी भी तत्व के लिए सही नहीं है।
इसलिए, ऑपरेशन * के पास कोई पहचान तत्व नहीं है।
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समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में, निम्नलिखित संक्रिया सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए तथा
(i) (2 * 3) * 4 तथा 2 * (3 * 4) का परिकलन कीजिए।
(ii) क्या * क्रमविनिमेय है?
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) का परिकलन कीजिए।
(संकेत : निम्न सारणी का प्रयोग कीजिए।)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
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N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।
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