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Question
निम्नलिखित आकृति में, ∠Q > ∠R, PA कोण ∠QPR का समद्विभाजक है तथा PM ⊥ QR है। सिद्ध कीजिए कि ∠APM = `1/2` (∠Q – ∠R) है।
Solution
त्रिभुज PQR में दिया गया है, ∠Q > ∠R, PA, ∠QPR और PM ⊥ QR का समद्विभाजक है।
साबित करने के लिए कि ∠APM = `1/2` (∠Q – ∠R)
उपपत्ति - PA, ∠QPR का समद्विभाजक है।
इसलिए, ∠QPA = ∠APR
कोण PQM में, ∠Q + ∠PMQ + ∠QPM = 180° ...(I) [त्रिभुज के कोणों के योग का गुण]
∠Q + 90° + ∠QPM = 180° ...[∠PMR = 90°]
∠Q = 90° – ∠QPM ...(II)
त्रिभुज PMR में, ∠PMR + ∠R + ∠RPM = 180° ...[त्रिभुज के कोणों के योग का गुण]
90° + ∠R + ∠RPM = 180° ...[∠PMR = 90°]
∠R = 180° – 90° – ∠RPM
∠R = 90° – ∠RPM ...(III)
समीकरण (III) को समीकरण (II) से घटाने पर, हम पाते हैं।
∠Q – ∠R = (90° – ∠APM) – (90° – ∠RPM)
∠Q – ∠R = ∠RPM – ∠QPM
∠Q – ∠R = (∠RPA + ∠APM) – (∠QPA – ∠APM) ...(IV)
∠Q – ∠R = ∠QPA + ∠APM – ∠QPA + ∠APM ...[As, ∠RPA = ∠QPA]
∠Q – ∠R = 2∠APM
∠APM = `1/2` (∠Q – ∠R)
अतः, सिद्ध हुआ।
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