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Question
निम्नलिखित फलन का समाकलन कीजिए।
`(sin^-1 sqrtx - cos^-1 sqrtx)/(sin^-1 sqrtx + cos^-1 sqrt x)`, (x ∈ [0, 1])
Solution
हम जानते हैं
`sin^-1 sqrtx + cos^-1 sqrtx = pi/2`
`=> cos^-1 sqrtx = pi/2 - sin^-1 sqrtx`
∴ माना `"I"_1 = int (sin^(- 1) sqrtx - cos^-1 sqrtx)/(sin^-1 sqrtx + cos^-1 sqrt x)`dx
`= int (sin^(- 1)sqrtx - pi/2 + sin^-1 sqrtx)/(pi/2)`dx
`= 2/pi int 2 sin^-1 sqrtx " dx" - int 1 " dx"` ....(1)
माना `"I"_1 = sin^(- 1) sqrtx` dx
`sqrt x = "t"` रखने पर `=> x = "t"^2`
`=> "dx" = 2"t" " dt"`
`therefore "I"_1 = sin^-1 sqrtx " dx"`
`sqrtx = "t"` रखने पर ⇒ x = t2
⇒ dx = 2t dt
`therefore "I"_1 = 2 int sin^-1 "t" * "t" " dt"`
`= 2 [sin^-1 "t" * "t"^2/2 - int 1/sqrt(1 - "t"^2) "t"^2/2 "dt"]`
`= "t"^2 sin^-1 "t" + int (1 - "t"^2 + 1)/sqrt(1 - "t"^2)`dt
`= "t"^2 sin^-1 "t" + int sqrt(1 - "t"^2) "dt" - int 1/sqrt(1 - "t"^2) "dt"`
`= "t"^2 sin^-1 "t" + ("t" sqrt(1 - "t"^2))/2 + 1/2 sin^-1 "t" - sin^-1 "t"`
`= x sin^-1 sqrtx + (sqrtx sqrt(1 - x))/2 - 1/2 sin^-1 sqrtx`
`= (x - 1/2)sin^-1 sqrt(x) + (sqrtx sqrt(1 - x))/2`
समीकरण (1) से,
I = `4/pi [(2x - 1)/2 sin^-1 sqrtx + (sqrtx sqrt(1 - x))/2] - x + "C"`
`= (2 (2x - 1))/pi sin^-1 sqrt x + (2sqrtx sqrt(1 - x))/pi - x + "C"`
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