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Question
निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):
sinnx
Solution
माना y = sinn x.
इसलिए, n = 1 के लिए, y = sin x
∴ `(dy)/(dx) = cos x` i.e. `(dy)/(dx) = sin x = cos x`
2 के लिए, y = sin2 x
∴ `(dy)/(dx) = (d)/(dx) (sin x sin x)`
= (sin x)' sinx + sin x (sin x)' [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]
= cos x sin x + sin x cos x
= 2 sin x cos x ...(1)
n = 3 के लिए, y = sin3 x
∴ `(dy)/(dx) = (d)/(dx) (sin x sin^2 x)`
= (sin x)' sinx2 + sin x (sin2 x) [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]
= cos x sin2 x + sin x (2 sin x cos x) [(1) का उपयोग करके]
= cos x sin2 x 2 sin2 x cos x
= 3 sin2 x cos x
मान लीजिए कि `d/dx (sin ^n x) = n sin ^(n - 1) x cos x`
मान लीजिए हमारा कथन n = k के लिए सत्य है।
अर्थात, `d/dx (sin ^k x) = k sin ^((k - 1)) x cos x` ...(2)
विचार करें,
`d/dx (sin^(k + 1) x)` = `d/dx (sin x sin^k x)`
= (sin x)' sinxk x + sin x (sink x) [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]
= cos x sink x + sin x (k sin(k - 1) x cos x) [(1) का उपयोग करके]
= cos x sink x + k sink x cos x
= (k + 1) sink x cos x
इस प्रकार, हमारा कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन द्वारा , `d/dx(sin^n x)` = n sin(n - 1) x cos x
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