P और Q दो बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमश: OPabOP→=2a→+b→ और OQabOQ→=a→-2b→ हैं। एक ऐसे बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो PQ को 1:2 के अनुपात में अंत: - Mathematics (गणित)

Question

P और Q दो बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमश: $\vec{OP} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{OQ} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ हैं। एक ऐसे बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो PQ को 1:2 के अनुपात में अंत:

Sum

Solution

(i) P और Q को 1:2 के अनुपात में अंत: विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश निम्नलिखित है

$\vec{OR} = \frac{2 (2 \vec{a} + \vec{b}) + 1 (\vec{a} - 2 \vec{b})}{1 + 2}$

= $\frac{5 \vec{a}}{3}$

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सदिश बीजगणित

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Q 3. (i)Q 2 Q 3. (ii)

Chapter 10: सदिश बीजगणित - हल किए हुए उदाहरण [Page 202]

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NCERT Exemplar Mathematics [Hindi] Class 12

Chapter 10 सदिश बीजगणित
हल किए हुए उदाहरण | Q 3. (i) | Page 202

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यदि बिंदु (-1, -1, 2), (2, m, 5) और (3, 11, 6) सरेखी, हैं तो m का मान ज्ञात कीजिए।

परिमाण 3 $\sqrt{2}$ का एक सदिश $\vec{r}$ ज्ञात कीजिए जो y और z-अक्षों से क्रमशः कोण $\frac{π}{4}$ और $\frac{π}{2}$ बनाता है।

सिद्ध कीजिए कि किसी ∆ABC, में $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ , जहाँ a, b, c क्रमश: A, B, C शीर्षों की सम्मुख भुजाओं के परिमाण को निरूपित करते हैं।

सदिश $6 \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$ का परिमाण है

प्रारम्भिक बिंदु P (2, - 3, 5) और अंतिम बिंदु Q(3, -4, 7) वाला सदिश है

x का वह मान जिसके लिए सदिश $2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ और सदिश $3 \hat{i} - λ \hat{j} + \hat{k}$ लंबवत है तो λ बराबर है

यदि $| \vec{a} | = 8, | \vec{b} | = 3$ और $| \vec{a} \times \vec{b} | = 12$ है, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ बराबर है

दो सदिश $\hat{j} + \hat{k}$ और $3 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$ किसी ∆ABC की क्रमश: दो भुजाओं AB और AC को निरूपित करते हैं। बिंदु A से हो कर जाने वाली मध्यिका (मीडियन) की लंबाई है

एक मात्रक सदिश जो सदिशों $\hat{i} - \hat{j}$ और $\hat{i} + \hat{j}$ दोनों के लंबवत है तथा एक दक्षिणावर्ती पद्धति को निर्मित करने वाला सदिश है।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\hat{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ , की दिशाओं में मात्रक सदिश है $2 \vec{a} - \vec{b}$

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ बिंदु A और B के क्रमश: स्थिति सदिश हैं तथा बढ़ाई गई BA में एक बिंदु C इस प्रकार है कि BC = 1.5 BA तो C का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

एक सदिश $\vec{r}$ का परिमाण 14 है तथा दिक्‌-अनुपात 2, 3, - 6 हैं। $\vec{r}$ के दिक्‌-कोसाइन और'घटक ज्ञात कीजिए जब कि यह दिया है कि x-अक्ष से $\vec{r}$ न्यून कोण बनता है।

परिमाण 6 का एक सदिश ज्ञात कीजिए जो दोनों ही सदिशों $2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $4 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ पर लंब है।

सदिशों $2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $3 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि A, B, C, D बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमश: $\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}, 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}, 2 \hat{i} - 3 \hat{k}, 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$ है तो $\vec{AB}$ का $\vec{CD}$ अनुदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ किसी त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित करते हैं तो, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} [\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}]$ है। इसके प्रयोग से तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के संरेखी होने के प्रतिबंध का निगमन कीजिए। साथ ही त्रिभुज के तल पर अभिलंब मात्रक सदिश भी ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ तो सदिश $\vec{c}$ ज्ञात कीजिए इस प्रकार कि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c}$ = 3.

सदिश $\hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ की दिशा में परिमाण 9 वाला सदिश है

सदिश जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु क्रमश: (2, 5, 0) और (-3, 7, 4) है निम्नलिखित है

मूल बिंदु से A और B बिंदुओं के सदिश क्रमश: $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ , हों तो त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल है

सदिश $λ \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}, \hat{i} + λ \hat{j} - \hat{k}$ और $2 \hat{i} - \hat{j} + λ \hat{k}$ समतलीय हैं यदि

सदिश $\vec{a} + \vec{b}$ असंरेखी सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है यदि ______

यदि किसी शुन्येतर सदिश $\vec{r}$ के लिए $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0, \vec{r} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ तब $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का मान ______ के बराबर है।

व्यंजक ${| \vec{a} \times \vec{b} |}^{2} + {(\vec{a} . \vec{b})}^{2}$ का मान ______ है।

यदि $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ तो यह आवश्यक है कि $\vec{a} = \pm \vec{b}$ है।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समचतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ हैं तब $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = 0 है।

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