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Question
यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) हैं तो ∠ABC ज्ञात कीजिए | [∠ABC, सदिशों `vec(BA)` एवं `vec(BC)` के बीच का कोण है]
Solution
मान लीजिए O मूल बिन्दु हो तो A का स्थिति सदिश, `vec(OA) = hat1 + 2hatj + 3hatk`, B का स्थिति सदिश `vec("OB") = -hat1` तथा C का स्थिति सदिश, `vec(OC) = hatj + 2hatk`
`vec(BA) = vec(OA) - vec(OB) = (hati + 2hatj + 3hatk) + hati`
= `2hati + 2hatj + 3hatk`
`|vec(BA)| = sqrt(2^2 + 2^2 + 3^2) `
`= sqrt(4 + 4 + 9) `
`= sqrt17`
`vec(BC) = vec(OC) - vec(OB) = (hatj + 2hatk) - (hati)`
= `hati + hatj + 2hatk`
`|vec(BC)| = sqrt(1^2 + 1^2 + 2^2) `
`= sqrt(1 + 1 + 4)`
` = sqrt6`
सदिश `vec(BC), vec(BA)` के बीच कोण ∠ABC
cos ABC = `(vec(BC) xx vec(BA))/(|vec(BC)| |vec(BA)|)`
`= ((hati + hatj + 2hatk) xx (2hati + 2hatj + 3hatk))/(sqrt(1^2 + 1^2 + 2^2 ) sqrt (2^2 + 2^2 + 3^2))`
`= ((1) (2) + (1) (2) + (2) (3))/(sqrt (1 + 1 + 4) sqrt(4 + 4 + 9))`
`= (2 + 2 + 6)/(sqrt6 sqrt7)`
`= 10/sqrt102`
`∠ABC = cos^-1(10/sqrt102)`
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दो सदिशों `veca` तथा `vecb` के परिमाण क्रमशः `sqrt3` एवं 2 हैं और `veca . vecb = sqrt6` है तो `veca` तथा `vecb` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
यदि `(veca + vecb).(veca - vecb) = 8` और `|veca| = 8|vecb|` हो तो `|veca|` एवं `|vecb|` ज्ञात कीजिए।
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XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
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बिंदु P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
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सदिश `hati + hatj + hatk` का, सदिशों `2hati + 4hatj - 5hatk` और `lambdahati + 2hatj + 3hatk` के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो λ का मान ज्ञात कीजिए |
यदि दो सदिशों `veca` और `vecb` के बीच का कोण θ है तो `|veca . vecb| = |veca xx vecb|` जब θ बराबर है:
`hati.(hatj xx hatk) + hatj.(hati xx hatk) + hatk.(hati xx hatj)` का मान है।
मान लीजिए `veca` और `vecb` दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो `veca + vecb` एक मात्रक सदिश है यदि ______.
यदि दो सदिशों `veca` और `vecb` के बीच का कोण θ है तो `veca.vecb ≥ 0` होगा यदि ______:
यदि `veca, vecb, vecc` समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश `veca + vecb + vecc` सदिशों `veca, vecb` तथा `vecc` के साथ बराबर झुका हुआ है।
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