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प्रश्न
आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि `("ar"("ABC"))/("ar"("DBC")) = "AO"/"DO"` हैं।
उत्तर
दिया है: एक ही आधार BC पर दो ∆ABC एवं ∆DBC और AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
रचना: AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC खींचिए।
अब ∆AEO और ∆DFO में,
चूँकि ∠AEO = ∠DFO = 90° [∵ AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC]
∠AOE = ∠DOF [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
∆AEO ∼ ∆DFO [AA समरूपता]
`"AE"/"DF" = "AO"/"DO"` [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∵ `("ar"("ABC"))/("ar"("DBC")) = (1/2 "BC" xx "AE")/(1/2 "BC" xx "DF") = "AE"/"DF"` ...........(2)
[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × शीर्षलम्ब]
`("ar"("ABC"))/("ar"("DBC")) = "AO"/"DO"` [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्
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