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प्रश्न
आकृति में, एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR इस प्रकार खींची गई हैं कि ∠RPQ = 30° है। एक जीवा RS स्पर्श रेखा PQ के समांतर खींची जाती है। ∠RQS ज्ञात कीजिए।
[संकेत: Q से होकर जाती हुई QP पर एक लंब रेखा खींचिए।]
उत्तर
PQ और PR बाह्य बिंदु P से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
∴ PQ = PR ...[किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।]
⇒ ∠PQR = ∠QRP ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ΔPQR में,
∠PQR + ∠QRP + ∠RPQ = 180° ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ ∠PQR + ∠PQR + 30° = 180°
⇒ 2∠PQR = 180° – 30° = 150° ...[∵ ∠PQR = ∠QRP]
⇒ ∠PQR = `(180^circ - 30^circ)/2` = 75°
चूंकि, SR || QP
∴ ∠SRQ = ∠RQP = 75° ...[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
साथ ही, ∠PQR = ∠QSR = 75° ...[वैकल्पिक खंड प्रमेय द्वारा]
In ΔQRS,
∠Q + ∠R + ∠S = 180° ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ ∠Q = 180° – (75° + 75°) = 30°
∴ ∠RQS = 30°
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