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प्रश्न
किसी 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक व्यास AB के एक सिरे A पर स्पर्श रेखा XAY खींची गई है। XY के समांतर तथा A से 8 cm की दूरी पर, जीवा CD की लंबाई ______ है।
विकल्प
4 cm
5 cm
6 cm
8 cm
उत्तर
किसी 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक व्यास AB के एक सिरे A पर स्पर्श रेखा XAY खींची गई है। XY के समांतर तथा A से 8 cm की दूरी पर, जीवा CD की लंबाई 8 cm है।
स्पष्टीकरण:
सबसे पहले, केंद्र O के साथ 5 cm त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं।
बिंदु A पर एक स्पर्श रेखा XY खींची गई है।
एक जीवा CD खींची जाती है जो XY के समांतर है और A से 8 cm की दूरी पर है।
अब, ∠OAY = 90° ...[∵ वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।]
∠OAY + ∠OED = 180° ...[∵ सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ ∠OED = 180° – 90° = 90°
साथ ही, AE = 8 cm।
OC से जुड़ें
OC = 5 cm ...[वृत्त की त्रिज्या]
OE = AE – OA
= 8 – 5
= 3 cm
अब समकोण ∆OEC में,
OC2 = OE2 + EC2 ...[पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार]
⇒ EC2 = OC2 – OE2
⇒ EC2 = 52 – 32
⇒ EC2 = 25 – 9 = 16
⇒ EC = 4 cm
चूँकि, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
∴ CE = ED
⇒ CD = 2 × EC
⇒ CD = 2 × 4
⇒ CD = 8 cm
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