Advertisements
Advertisements
प्रश्न
किसी वृत्त की बिंदु C पर खींची गई स्पर्श रेखा और व्यास AB बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠PCA = 110° है, तो ∠CBA ज्ञात कीजिए।
उत्तर
यहाँ, बिंदु C से AB वृत्त का व्यास है और एक स्पर्श रेखा खींची गई है जो बिंदु P पर मिलती है।
OC से जुड़ें।
यहाँ, OC त्रिज्या है।
चूँकि, वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा, संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।
∴ OC ⊥ PC
अब, ∠PCA = 110° ...[दिया गया है।]
⇒ ∠PCO + ∠OCA = 110°
⇒ 90° + ∠OCA = 110°
⇒ ∠OCA = 20°
∴ OC = OA = वृत्त की त्रिज्या
⇒ ∠OCA = ∠OAC = 20° ...[चूँकि, दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।]
चूँकि, PC एक स्पर्शरेखा है,
तो ∠BCP = ∠CAB = 20° ...[एक वैकल्पिक खंड में कोण बराबर होते हैं।]
ΔPBC में,
∠P + ∠C + ∠A = 180°
∠P = 180° – (∠C + ∠A)
= 180° – (110° + 20°)
= 180° – 130°
= 50°
ΔPBC में,
∠BPC + ∠PCB + ∠PBC = 180° ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 50° + 20° + ∠PBC = 180°
⇒ ∠PBC = 180° – 70°
⇒ ∠PBC = 110°
चूँकि, APB एक सीधी रेखा है।
∴ ∠PBC + ∠CBA = 180°
⇒ ∠CBA = 180° – 110° = 70°
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृति में, AT केंद्र O वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा इस प्रकार है कि OT = 4 cm और ∠OTA = 30° है। तब, AT बराबर ______ है।
उपरोक्त प्रश्न 5 में, यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
एक वृत्त की जीवा PQ, बिंदु R पर इस वृत्त की स्पर्श रेखा के समांतर है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु R चाप PRQ को समद्विभाजित करता है।
यदि केंद्र O वाले वृत्त की AB एक जीवा है, AOC एक व्यास है तथा AT बिंदु A पर खींची गई स्पर्श रेखा है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि ∠BAT = ∠ACB है।
केंद्रों O और O' वाले तथा क्रमशः त्रिज्याओं 3 cm और 4 cm वाले दो वृत्त परस्पर बिंदुओं P और Q पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं। कि OP और O' P दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं। उभयनिष्ठ जीवा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में, एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR इस प्रकार खींची गई हैं कि ∠RPQ = 30° है। एक जीवा RS स्पर्श रेखा PQ के समांतर खींची जाती है। ∠RQS ज्ञात कीजिए।
[संकेत: Q से होकर जाती हुई QP पर एक लंब रेखा खींचिए।]
केंद्र O वाले किसी वृत्त का AB एक व्यास है और AC एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° है। C पर वृत्त की स्पर्श रेखा बढ़ाई गई AB को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BC = BD है।
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के एक चाप के मध्य-बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा उस चाप के सिरों को मिलाने वाली जीवा के समांतर होती है।
आकृति में, O त्रिज्या 5 cm वाले वृत्त का केंद्र है, T एक बिंदु इस प्रकार है कि OT = 13 cm है तथा OT वृत्त को E पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AB, बिंदु E पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तो AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
यदि त्रिज्या 9 cm वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC खींचा गया है, जिसमें AB = AC = 6 cm है, तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
