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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के एक चाप के मध्य-बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा उस चाप के सिरों को मिलाने वाली जीवा के समांतर होती है।
उत्तर
आइए एक वृत्त बनाएं जिसमें AMB एक चाप है और M चाप AMB का मध्य-बिंदु है।
AM और MB से जुड़े।
साथ ही TT' वृत्त पर बिंदु M पर एक स्पर्शरेखा है।
सिद्ध करने के लिए: AB || TT'
प्रमाण: चूँकि M, चाप AMB का मध्य बिंदु है।
आर्क AM = आर्क MB
AM = MB ...[जैसा कि समान जीवाएं समान चापों को काटती हैं।]
∠ABM = ∠BAM ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।] [1]
अब, ∠BMT' = ∠BAM ...[स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण जीवा द्वारा एकांतर खंड में बनाए गए कोण के बराबर होता है।] [2]
[1] और [2] से
∠ABM = ∠BMT'
तो, AB || TT' ...[यदि आंतरिक एकांतर कोण बराबर हों तो दो रेखाएं समानांतर होती हैं।]
अत: सिद्ध हुआ!
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