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प्रश्न
यदि त्रिज्या 9 cm वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC खींचा गया है, जिसमें AB = AC = 6 cm है, तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
OB, OC और OA को मिलाएँ।
∆ABO और ∆ACO में,
AB = AC ...[दिया गया है]
BO = CO ...[समान वृत्त की त्रिज्या]
AO = AO ...[सामान्य पक्ष]
∴ ∆ABO ≅ ∆ACO ...[SSS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]
⇒ ∠1 = ∠2 ...[CPCT]
अब, ∆ABM और ∆ACM में,
AB = AC ...[दिया गया है]
∠1 = ∠2 ...[ऊपर साबित हुआ]
AM = AM ...[सामान्य पक्ष]
∴ ∆AMB ≅ ∆AMC ...[SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]
⇒ ∠AMB = ∠AMC ...[CPCT]
साथ ही, ∠AMB + ∠AMC = 180° ...[रैखिक युग्म]
⇒ ∠AMB = 90°
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से एक लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
तो, OA BC का लंबवत समद्विभाजक है।
मान AM = x, फिर OM = 9 – x ...[∵ OA = त्रिज्या = 9 cm]
समकोण ∆AMC में,
AC2 = AM2 + MC2 ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
⇒ MC2 = 62 – x2 …(i)
समकोण ∆OMC में,
OC2 = OM2 + MC2 ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
⇒ MC2 = 92 – (9 – x)2
समीकरण (i) और (ii) से,
62 – x2 = 92 – (9 – x)2
⇒ 36 – x2 = 81 – (81 + x2 – 18x)
⇒ 36 = 18x
⇒ x = 2
∴ AM = 2 cm
समीकरण (ii) से,
MC2 = 92 – (9 – 2)2
⇒ MC2 = 81 – 49 = 32
⇒ MC = `4sqrt(2)` cm
∴ BC = 2 MC = `8sqrt(2)` cm
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
= `1/2 xx "BC" xx "AM"`
= `1/2 xx 8sqrt(2) xx 2`
= `8sqrt(2) "cm"^2`
अतः, ∆ABC का आवश्यक क्षेत्रफल `8sqrt(2) "cm"^2` है।
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