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प्रश्न
केंद्रों O और O' वाले तथा क्रमशः त्रिज्याओं 3 cm और 4 cm वाले दो वृत्त परस्पर बिंदुओं P और Q पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं। कि OP और O' P दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं। उभयनिष्ठ जीवा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
3 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या वाले केंद्र O और O' वाले दो वृत्त क्रमशः दो बिंदुओं P और Q पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OP और O'P दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं और PQ एक उभयनिष्ठ जीवा है।
ज्ञात करना है: उभयनिष्ठ जीवा PQ की लंबाई
∠OPO’ = 90° ...[वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्बवत् होती है।]
तो OPO, P पर एक समकोण त्रिभुज है।
ΔOPO' में पाइथागोरस का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है।
(OO’)2 = (O’P)2 + (OP)2
(OO’)2 = (4)2 + (3)2
(OO’)2 = 25
OO’ = 5 cm
मान लीजिए ON = x सेमी और NO' = 5 – x सेमी
समकोण त्रिभुज में ONP
(ON)2 + (PN)2 = (OP)2
x2 + (PN)2 = (3)2
(PN)2 = 9 – x2 ...[1]
समकोण त्रिभुज O'NP में
(O’N)2 + (PN)2 = (O’P)2
(5 – x)2 + (PN)2 = (4)2
25 – 10x + x2 + (PN)2 = 16
(PN)2 = – x2+ 10x – 9 ...[2]
[1] और [2] से
9 – x2 = – x2 + 10x – 9
10x = 18
x = 1.8
(1) से हमारे पास है।
(PN)2 = 9 – (1.8)2
= 9 – 3.24
= 5.76
PN = 2.4 cm
PQ = 2PN
= 2(2.4)
= 4.8 cm
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