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प्रश्न
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा ∠C का समद्विभाजक भुजा AB को D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AC + AD = BC है।
उत्तर
दिया गया है - समकोण ∆ABC में, AB = AC और CD, ∠C का समद्विभाजक है।
रचना - DE ⊥ BC खींचिए।
सिद्ध करना है - AC + AD = BC
उपपत्ति - समकोण △ABC में, AB = AC और BC एक काल्पनिक है। ...[दिया गया है।]
∴ ∠A = 90°
ΔDAC और ΔDEC में, ∠A = ∠3 = 90°
∠1 = ∠2 ...[दिया गया है, CD, ∠C का समद्विभाजक है।]
DC = DC ...[सामान्य पक्ष]
∴ ΔDAC ≅ ΔDEC ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ DA = DE [CPCT द्वारा] ...(i)
और AC = EC ...(ii)
ΔABC में AB = AC है।
∠C = ∠B [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।] ...(iii)
पुनः, ∠ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ...[कोणों द्वारा त्रिभुज के गुणों का योग]
⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180° ...[समीकरण (iii) से]
⇒ 2∠B = 180° – 90°
⇒ 2∠B = 90°
⇒ ∠B = 45°
∠BED में, ∠5 = 180° – (∠B + ∠4) ...[त्रिभुज के कोण योग गुण द्वारा]
= 180° – (45° + 90°)
= 180° – 135°
= 45°
∴ ∠B = ∠5
⇒ DE = BE [∵ बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(iv)
समीकरण (i) और (iv) से,
DA = DE = BE ...(v)
∵ BC = CE + EB
= CA + DA ...[समीकरण (ii) और (v) से]]
∴ AD + AC = BC
अतः सिद्ध हुआ।
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