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प्रश्न
∆ABC के अंतःकोण ∠B और बहिष्कोण ∠ACD के समद्विभाजक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि `∠BTC = 1/2 ∠BAC` हैं।
उत्तर
∆ABC में दिया गया है, SC को D तक बढ़ाएँ और ∠ABC और ∠ACD के द्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं।
`∠BTC = 1/2 ∠BAC` साबित करने के लिए,
उपपत्ति - ∆ABC में, ∠C एक बाह्य कोण है।
∴ ∠ACD = ∠ABC + ∠CAB ...[त्रिभुज के बहिष्कोण का दो विपरीत कोणों के योग से]
⇒ `1/2 ∠ACD = 1/2 ∠CAB + 1/2 ∠ABC` ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ `∠TCD = 1/2 ∠CAB + 1/2 ∠ABC` ...(i) `[∵ CT, ∠ACD "का समद्विभाजक है" ⇒ 1/2 ∠ACD = ∠TCD]`
∆BTC में, ∠TCD = ∠BTC + ∠CBT ...[त्रिभुज का बाह्य कोण दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।]
⇒ `∠TCD = ∠BTC + 1/2 ∠ABC` ...(ii) `[∵ ∠ABC "का" BT "समद्विभाजक" ⇒ ∠CBT = 1/2 ∠ABC]`
समीकरण (i) और (ii) से,
`1/2 ∠CAB + 1/2 ∠ABC = ∠BTC + 1/2 ∠ABC`
⇒ `∠BTC = 1/2 ∠CAB`
या `∠BTC = 1/2 ∠BAC`
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